09-05-2023
Содержание |
Термин «гипер-реальное» (так в оригинале) был введен американским математиком Э.Хьюиттом в 1948.[1].
Система гиперреальных чисел (назваемых также гипердействительными или гипервещественными) представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гиперреальных чисел *R является расширением поля вещественных чисел R, которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде
Такое множество бесконечно, а обратное ему бесконечно мало.
Гиперреальные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности Г.Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об R справедливы и для *R. Например, правило аддитивности х + у = у + х, справедливо для гиперреальных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося 1955.
Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности метод исчерпывания. В 1960 А.Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.
Применение гиперреальных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования сложных логических конструкций. Так, производная F(X) становится для бесконечно малого , где st(·) означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гиперреальное число с уникальным вещественным, бесконечно близким к нему.
Положим, что X является тихоновским пространством, которое также называется T3.5 пространством, а С (Х)-алгебра непрерывных вещественных функций на X. Пусть М есть максимальный идеал в С (Х). Тогда факторкольцо A = C (X) / М, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если F строго содержит R, то М называется гиперреальным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а F — гиперреальным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля F больше, чем у поля R, они могут на самом деле имеют одинаковую мощность.
Важный частный случай — если пространство X является дискретным пространством, в этом случае X можно отождествить с мощностью множества κ и C(X) с реальной алгеброй функций κ от R. Гиперреальные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями R и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.
Числовые системы | |
---|---|
Счётные множества |
Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические |
Вещественные числа и их расширения |
Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) |
Другие числовые системы |
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
См. также | Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион |
Гиперреальное число.