Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки или вторым тождеством Бьянки.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всем многообразии.

В точке мы можем выбрать такую ​​специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в точке . Тогда для ковариантных производных в точке имеем:

Поскольку

то в точке имеем:

Циклически переставляя в (4) индексы получим еще две равенства:

Легко видеть, что при добавлении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения будет выражение (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются и мы получим ноль.

См. также

• Алгебраическое тождество Бьянки