29-08-2023
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
для определённого:
Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.
Содержание |
Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
После перестановок:
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:
Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
Также см. Математический анализ#Библиография.
Интегрирование по частям.