Липшицево отображение — отображение между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение метрического пространства в метрическое пространство называется липшицевым, если найдётся некоторая константа (константа Липшица этого отображения), такая, что

при любых . Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также -липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением.
• Нижняя грань чисел , удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения .
• Отображение называется билипшицевым, если у него существует обратное и оба и являются липшицевыми.
• Отображение называется колипшицевым, если существует константа , такая, что для любых и найдётся такое, что

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:

История

Отображения со свойством

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при , а при  — условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера