Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где  — скалярное произведение векторов и .

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная, чему равны скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора по векторам .

Исходя из разложения

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти расстояние от до .

Минимум расстояний по всем векторам из достигается на ортогональной проекции вектора на . При этом , где вектор перпендикулярен всем векторам из , и расстояние от до равно модулю вектора . Для вектора решается задача о разложении (см. выше) по векторам , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

где  — определитель Грама системы. Вектор равен:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы векторов равен квадрату -мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы.

См. также

• Процесс Грама ― Шмидта