28-01-2024
Мера множества — неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера - это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера, как функция, должна также обладать свойством аддитивности - мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо - для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.
Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств , обобщающая понятие объёма (или площади или длины, если или соответственно) на случай множеств, более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.
Содержание |
Пусть задано множество с некоторым выделенным классом подмножеств . Обычно предполагается, что данный класс подмножеств является как минимум полукольцом (иногда кольцом или алгеброй).
Функция называется мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Первая аксиома является удобной, но в некотором смысле "избыточной". Достаточно предположить что существует хотя бы одно множество с конечной мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось).
Непосредственно из второй аксиомы следует, что мера объединения любого конечного числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств:
Из (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для счетного объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых счетно-аддитивными мерами.
Пусть задано множество с выделенной -алгеброй .
Функция называется счётно-аддитивной (или -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Из определения следует, что мера обладает как минимум следующими свойствами (предполагается, что мера задана как минимум на полукольце множеств):
Это интуитивно понятное свойство - чем "меньше" множество, тем меньше его "размер".
Счетно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.
Определять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом.
Класс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.
Пусть начальный класс измеримых множеств имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из , то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств из , таких что
Пусть означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из . Класс замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция на однозначно продолжается до аддитивной функции на , если и только если её значения согласованы на . Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств и из , если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:
Пусть и — классы измеримых множеств на пространствах и , имеющие структуру полукольца. Множества вида , где , образуют полукольцо множеств на пространстве .
Если на и заданы меры и , то на определена аддитивная функция , удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее , называется прямым произведением мер и и обозначается . Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини).
Единичное имя множества единица информации, единица множества это, мера множества изображенного на рисунке равна.
Пропедевтическая ценность эсперанто, Участник:Квестер/Ошибки в оценках, Owsley County, Kentucky.