02-10-2023
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении
соответствующего однородного уравнения
на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
состоит в построении частного решения (1) в виде
где — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица называется матрицей Коши оператора .
Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения).