Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму на (то есть таких линейных преобразований , что для любого ).

Обозначения и связанные определения

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ) преобразованиями , а также автоморфизмами формы (точнее, автоморфизмами пространства относительно формы ).
• Обозначается , , и т.п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( плюсов, минусов) где , обозначается O(,), см. напр. O(1,3).

Свойства

• В случае если характеристика основного поля больше двух, то с связана невырожденная симметрическая билинейная форма на , определенная формулой

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства , которые сохраняют , и обозначается через или (когда ясно о каком поле и форме идёт речь) просто через .

• Если — матрица формы в неком базисе пространства , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц с коэффициентами в , что

  В частности, если базис таков, что является суммой квадратов координат (то есть, матрица единична), то такие матрицы называются ортогональными.

• Над полем действительных чисел, группа компактна тогда и только тогда, когда форма знакоопределена.

Другие группы

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу SO(, ), обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы .