Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системах.[1][2]
История
Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922[3]). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела[4]. Нордтведт[en] (Nordtvedt, 1968[5], 1969[6]) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971[7]) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса[4].
Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни[en] (Ni, 1972[8]), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972[9]), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация[10], и Уилла[1][2], и имеют 10 параметров.
Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)
Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля[11]. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности[12]. В обозначениях Уилла (Will, 1971[7]), Ни (Ni, 1972[8]) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973[10]) ППН параметры имеют условно следующее значение[13]:
|
Насколько сильная пространственная кривизна в генерируется единицей массы покоя?
|
|
Насколько велика нелинейность в при сложении гравитационных полей?
|
|
Как много тяготения в производится единицей кинетической энергии ?
|
|
Как много тяготения в производится единицей гравитационной потенциальной энергии ?
|
|
Как много тяготения в производится единицей внутренней энергии тела ?
|
|
Как много тяготения в производится единицей давления ?
|
|
Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в
|
|
Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в
|
|
Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в производится единицей импульса ?
|
|
Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении
|
— симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы и пробегают значения от 1 до 3.
В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры
- и [13].
Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)
В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972[9]), используемой также в работах Уилла (1981[2], 2014[1]), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- получается из .
Смысл параметров , и при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира)[14]. , , , и измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса[15].
В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть
- и [16].
Вид метрики альфа-дзета варианта:
- ,
где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала , квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, — квадрат этой скорости, а если и в противоположном случае — символ Кронекера[17].
Есть только десять простых метрических потенциалов: , , , , , , , , и [18], столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации[17]. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например[18],
Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973[19]), Уилла (1981[18], 2014[20]) и др.
Процедура получения ППН параметров из теории гравитации
Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981[2]. Процесс состоит из девяти стадий[21]:
- Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика , гравитационное скалярное , векторное и/или тензорное поле и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика , космологическое время и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
- Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем , , , .
- Шаг 3: Вводим новые переменные , а если необходимо, то и , , .
- Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для и прочих динамических гравитационных переменных.
- Шаг 5: Решаем уравнения для с точностью до . Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму , где — гравитационный потенциал Ньютона, а может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» . Ньютонова метрика имеет форму , , . Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице .
- Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем с точностью до и с точностью до .
- Шаг 7: Находим с точностью до . Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
- Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
- Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.
Сравнение теорий гравитации
Основной источник: Уилл (1981
[2], 2014
[22])
Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».
Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.
В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна и поэтому , что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза[en], метрика равна и, следовательно, , что опять-таки противоречит наблюдениям.
Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них . Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от и , то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение .
Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что , и это эффективно отклоняет биметрические теории.
Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении . Предел даёт очень малое , которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.
Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и , так что эти теории также не выглядят надёжными.
Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.
Экспериментальные ограничения на ППН параметры
Значения взяты из обзора Уилла, 2014[23]
Параметр |
Границы |
Эффекты |
Эксперимент
|
|
|
Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света |
Траектория «Кассини — Гюйгенса»
|
|
|
Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия |
Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
|
|
|
Прецессия оси вращения |
Миллисекундные пульсары
|
|
|
Сдвиг плоскости орбиты |
Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
|
|
|
Прецессия оси вращения |
Миллисекундные пульсары
|
|
|
Самоускорение |
Статистика замедления пульсаров
|
|
|
- |
Комбинированный предел разных экспериментов
|
|
|
Ускорение двойных пульсаров |
PSR 1913+16
|
|
|
Третий закон Ньютона |
Ускорение Луны
|
|
‡ |
- |
Не является независимым
|
‡ По из работ Уилла (1976[24], 2014[1]). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел из статьи Ни (1972[8]).
Примечания
- ↑ 1 2 3 4 Will, 2014.
- ↑ 1 2 3 4 5 Уилл, 1985.
- ↑ Эддингтон, 1934.
- ↑ 1 2 МТУ, 1977, Том 3, с. 315.
- ↑ Nordtvedt, 1968.
- ↑ Nordtvedt, 1969.
- ↑ 1 2 Will, 1971.
- ↑ 1 2 3 Ni, 1972.
- ↑ 1 2 Will & Nordtvedt, 1972.
- ↑ 1 2 МТУ, 1977.
- ↑ МТУ, 1977, Том 3, с. 313.
- ↑ МТУ, 1977, Том 3, с. 314.
- ↑ 1 2 МТУ, 1977, Том 3, с. 317—318.
- ↑ Уилл, 1985, с. 90—91.
- ↑ Уилл, 1985, с. 99—100.
- ↑ Уилл, 1985, 5.2. Общая теория относительности.
- ↑ 1 2 Уилл, 1985, с. 87.
- ↑ 1 2 3 Уилл, 1985, 4.1. Постньютоновсий предел. г. Постньютоновские потенциалы..
- ↑ МТУ, 1977, Том 3. § 39.8. ППН-метрические коэффициенты.
- ↑ Will, 2014, p. 32—33, Box 2.
- ↑ Уилл, 1985, 5.1. Метод расчёта..
- ↑ Will, 2014, 3.3 Competing theories of gravity..
- ↑ Will, 2014, p. 46.
- ↑ Will, 1976.
Литература
- Основная
- Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
- Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — 2014LRR....17....4W. — Архивировано 19 марта 2015 года.
- Дополнительная
- Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
- Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
- Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // 1972ApJ...176..769N.
- Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — 1968PhRv..169.1017N.
- Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — 1969PhRv..180.1293N.
- Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // 1971ApJ...163..611W.
- Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // 1976ApJ...204..224W.
- Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // 1972ApJ...177..757W.
См. также