В классической геометрии^[en] точка самосоприкосновения (en:tacnode) (или двойной касп)^[1] — это вид особой точки ^[2]. Она определяется как точка, где две (или более) соприкасающиеся кривой окружности в этой точке касаются. Это означает, что две ветви кривой имеют одну и ту же касательную в двойной точке.^[1]

Каноническим примером служит кривая

Другой пример точки самоприкосновения — кривая, показанная на рисунке, и имеющая уравнение

Некоторые обобщения

Рассмотрим гладкую, принимающую вещественные значения функцию двух переменных, скажем, f(x, y), где x и y — вещественные числа. Таким образом, f отображает плоскость в прямую. На пространство всех таких гладких функций действует группа диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмов прямой, т.е. диффеоморфизмы меняют координаты как в области определения, так и в области значений. Это действие разбивает всё пространство функций^[en] на классы эквивалентности, т.е. орбиты действия группы.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается A_k^±[en], где k — неотрицательное целое. Обозначение ввёл В. И. Арнольд ^[3]. Говорят, что функция f имеет особенность типа A_k^±[en], если она лежит на орбите x² ± y^k+1, т.е. существует диффеоморфическое преобразование координат в области определения и в области значений, которое переводит f в одну из этих форм. Говорят, что эти простые формы x² ± y^k+1 задают нормальные формы для особенностей типа A_k^±[en].

Кривая с уравнением f = 0 будет иметь в начале координат точку самоприкосновения тогда и только тогда, когда f имеет особенность типа A₃⁻ в начале координат.

Заметим, что точка самопересечения кривой (x² − y² = 0) соответствует A₁⁻-особенности. Точка самоприкосновения соотвествует A₃⁻-особенности. Фактически, любая особенность типа A_2n+1⁻, где n ≥ 0 — целое число, соответствует кривой с самопересечением. С увеличением порядок самопересечения увеличивается — поперечное пересечение, простое касание, и так далее.

Особенности типа A_2n+1⁺ для действительных чисел не представляют интереса — все они соответствуют изолированным точкам. В комплексных числах особенности A_2n+1⁺ и A_2n+1⁻ эквивалентны — (x,y) → (x, iy) даёт требуемый диффеоморфизм нормальных форм.

Смотрите также

• Изолированная точка кривой
• Касп или Точка возврата
• Точка самопересечения^[en]

Ссылки

• Е.В. Шикин, М.М.Франк-Каменцкий Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — М.: Фазис, 1997. — С. 40 Пункт 18. Особые точки кривых.
• Ю.А. Аминов {{{заглавие}}}. — М.: Наука, 1987. — С. 38-39 9. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Tacnode (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.