Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Определение

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

Связанные определения

• Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Доказательство

Пусть — последовательность, которая сходится к точке .

Фиксируем .

Тогда, согласно определению предела последовательности, существует такой номер , что для всякого , будет иметь место неравенство .

Теперь, по неравенству треугольника, для любых и , что и требовалось показать согласно определению (сходимости в себе).

Свойства

• Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится.
• Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
• Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.