В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

• Функциональному уравнению

где  — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.

• Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

      (формула дополнения Эйлера)

• Функциональное уравнение

где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.

• Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:

 — удовлетворяют все показательные функции,

 — удовлетворяют все логарифмические функции,

 — уравнение Коши,

 — квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет ,

 — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия

 — уравнение Лобачевского, решение — ,

 — уравнение Даламбера,

 — уравнение Абеля  (англ.),

 — уравнение Шрёдера  (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .

• Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Пример реккурентного соотношения:

• Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию^{[стиль!]}:

Но если мы напишем вместо то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:

Решение функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.

Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию

.

Затем рассмотрим

,

если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,

и многие другие.

Пример 1

Решить для всех где f принимает вещественные значения.

Положим : . Тогда и .

Теперь, положим :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.

См. также

• Functional equation (L-function)

Примечания

Литература

• Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.