Брахистохро́на (от греч. βράχιστος — кратчайший и χρόνος — время) — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A.

Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

26 января 1697 года Исаак Ньютон решает задачу о брахистохроне — и попутно открывает вариационное исчисление.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдем такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

, где

 — масса тела,

 — ускорение свободного падения,

 — ордината,

 — скорость движения тела.

Получаем:

,

откуда можно найти значение проекции скорости на ось :

.

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла

.

Ссылки