Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.
Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.
Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.
В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата , идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при и (x,0) ~ (1-x,1) при , как показано на диаграмме.
Свойства
- Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
- Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство , но вкладывается в .
- Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
- Хроматическое число поверхности равно 6.
Рассечения
При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).
Параметризация
Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:
В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа равна радиусу круга. Параметр задаёт угол на плоскости XY и обозначает положение около 8-образного сечения.
Бутылка Клейна в культуре
Стеклянная бутылка Клейна
- Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, приходится оставлять отверстие, чтобы внутреннее пространство бутылки не было изолированным.
- В сериале «Футурама» в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
- В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
- В рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна», входящем в межавторский цикл Южная Пристань в качестве сюжетообразующего элемента рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна.
- В рассказе Брюса Эллиота «Последний иллюзионист» бутылка Клейна используется для мести ассистентом фокусника за смертельно опасную беременность марсианской девушки. Из-за преднамеренной ошибки ассистента фокусник застревает в горлышке огромной бутылки Клейна, наполовину внутри бутылки, наполовину вне её. Автором рассказа утверждается, что фокусника нельзя освободить, т.к. бутылку Клейна нельзя разбить, не разрезав застрявшего фокусника пополам.
- В книге Александра Митича «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, подобное бутылке Клейна
- В декабре 2008 года в Санкт-Петербурге вышел сборник абсурдистской прозы и поэзии из серии Петраэдр под названием «За бутылочкой Клейна»[1].
- Ваза Клейна была так же упомянута в книге Бернара Вербера «Энциклопедия Относительного и Абсолютного знания».
См. также
Примечания
- Список произведений и авторов
Ссылки
- Топология для школьников
- Магазин стеклянных бутылок Клейна
- Игры Торус Свободно распространяемые игры для Windows и Mac OS X, иллюстрирующие топологию тора и бутылки Клейна
- Анимационный фильм о Бутылке Клейна, созданный в 2010 г. при Свободном Университете г. Берлин (Freie Universität Berlin), включает изображение поездки по Бутылке и изначальное описание Феликса Клейна.