Полигамма-функция

Дигамма-функция

Тригамма-функция

Тетрагамма-функция

Пентагамма-функция

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

где — гамма-функция, а

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,$

где — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комлексного (в указанных точках функция имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty \displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного (в указанных точках функция имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе иногда обозначается как или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция называется тригамма-функцией, — тетрагамма-функцией, — пентагамма-функцией, — гексагамма-функцией, и т.д.

Интегральное представление

Полигамма-функция может быть представлена как

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t$

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z)= -\gamma + \int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t} {\rm d}t\; ,$

где — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения

При () справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m-1} \left[ \frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2z^{m+1}} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k+m-1)!\; B_{2k}}{(2k)!\; z^{2k+m}} \right]$

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!} \; ,$

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

а для дигамма-функции (при m=0) —

где — постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

а также формуле дополнения

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

$\psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m>0$

а для дигамма-функции () к правой части надо добавить lnk,

$\psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right).$

См. также

Ссылки

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions. — Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4
Weisstein, Eric W. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Progulki-po-reke-moskwa.ru

прогулки на теплоходе по Москве реке

Лучшее