Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается и определяется как

где — гамма-функция. Из этого определения следует, что

где — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),

Эти формулы верны, когда (в указанных точках функция имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Отметим другие обозначения для , используемые в литературе:

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции .

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

а также формуле дополнения

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли

.

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

где G — постоянная Каталана, а — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

Для значений за пределами интервала можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше.

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Trigamma function — статья в английской Википедии

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com