Теоре́ма Паска́ля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что

Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

История

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях).

О доказательствах

• Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
• Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
• Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
  • В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.

Применение

• Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

Вариации и обобщения

Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке).

В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.

В частности:

Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.

В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:

Теорема Киркмана:

• Теорема о 9 точках на кубике

См. также

• Паскалева и непаскалева геометрии
• Теорема Дезарга

Ссылки

• Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
• Живые чертежи (на Java)
  • Pascal’s theorem на Cut the knot
  • Pascal’s theorem
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0